Capítulo 9

Los números

Este capítulo introduce el concepto de número, probablemente uno de los más complejos que existen. Se expone con detalle el proceso de construcción del número como concepto, señalando la cuantificación como herramienta fundamental. Asimismo, se subraya la dificultad de diferenciar entre el concepto de número y el símbolo que lo representa, distinción que con frecuencia no se realiza. Finalmente, se aborda la pregunta: ¿cuántos números existen?

Esto es Vebor_1

LOS NÚMEROS
Concepto complejo
El más complejo
Número es un concepto complejo
El concepto de número es probablemente el más complejo que existe
Atención especial
Se abordará en profundidad
Por eso se considera oportuno abordarlo en este libro y dedicarle una atención especial
Confusión
Lo habitual es identificar concepto con símbolo
Es fácil comprobar que con demasiada frecuencia se identifica el concepto con el símbolo que lo representa
Es grave
No es un problema
menor
Esa identificación acarrea, a juicio del autor, problemas importantes en el ámbito de las matemáticas
Realidades distintas
Los conceptos son una cosa y las palabras y símbolos otra
Uno de los asuntos sobre los que se insiste mucho en este libro es el que afecta a la gran diferencia que existe entre los conceptos y las palabras o los símbolos con los que se representan
La vinculación
El lenguaje se encarga de vincular las palabras con los conceptos
Conceptos y palabras/símbolos son cosas relacionadas, pero distintas. Ambos existen y cuando se vinculan constituyen un lenguaje
A su bola
Si no hay vinculación, no hay lenguaje
Si los conceptos y las palabras/símbolos no se vinculan, son realidades distintas, que pueden evolucionar de forma autónoma, pero que en ningún caso constituyen un lenguaje
Concepto complejo
El más complejo
Atención especial
Confusión
Es grave
Realidades distintas
La vinculación
A su bola
La unidad
Se usa como referencia
Cualquier cosa que pueda diferenciarse de su entorno
Unidad es cualquier manifestación de la realidad que pueda diferenciarse de su entorno y por tanto puede usarse como referencia para compararla con otras manifestaciones de la realidad
Normalmente un concepto
Puede ser una individualidad o
un concepto
Una unidad puede ser una individualidad o un concepto. En la práctica la mayor parte de las unidades que se usan son conceptos: oveja, coche, metro, segundo, etc
La unidad
Se usa como referencia
Normalmente un concepto
La referencia
Una unidad
Cualquier unidad
Cualquier unidad puede usarse como referencia
La categoría
Comparando clasificamos las unidades en
categorías
Una vez elegida una referencia, mediante la comparación, podemos determinar si otras unidades pertenecen o no a la misma categoría que la referencia usada
Simples
Hay referencias
simples
Hay referencias que se corresponden con manifestaciones simples de la realidad, como por ejemplo la longitud, la frecuencia y el peso
Complejas
Hay referencias complejas
Sin embargo, hay otras referencias que se corresponden con manifestaciones más complejas de la realidad, como por ejemplo árbol, hoja y coche
Mucha precisión
Las simples aportan
gran precisión
Las referencias del primer tipo llevan asociada una tolerancia pequeña. Cuanto más simple sea la anifestación de la realidad que deseamos cuantificar, más fácil resulta encontrar una unidad de gran precisión
Gran tolerancia
Las complejas tienen mucha tolerancia
Las referencias del segundo tipo llevan implícita una tolerancia amplia, ya que cuando tratamos con manifestaciones complejas de la realidad las unidades que podemos definir necesariamente han de tener unos rangos de valores amplios
¿Es una naranja?
Las naranjas pueden ser grandes o pequeñas, dulces o amargas, lisas o rugosas
Por ejemplo, cuando comparamos las naranjas de una caja comprobamos que hay diferencias notables en el peso, el color, la textura, la forma, el sabor, etc. de unas naranjas en relación con otras, y a pesar de ello a todas y cada una las consideramos como pertenecientes a la categoría naranja
Muy útil
«Naranja» tiene poca precisión, pero
es muy útil
El concepto ‘naranja’ es una referencia que tiene poca precisión pero que resulta muy útil en la vida práctica
La referencia
Una unidad
La categoría
Simples
Complejas
Mucha precisión
Gran tolerancia
¿Es una naranja?
Muy útil
La agrupación
Conjuntos
Agrupamos por
categorías
Las unidades de la misma categoría pueden agruparse en conjuntos más o menos grandes
Dinámico
Concepto dinámico
La agrupación de unidades es un concepto dinámico
Dos opciones
La agrupación puede
ser física o solo
mental
La agrupación de unidades puede hacerse físicamente, desplazando las unidades hacia un lugar concreto, o también se puede hacer solo mentalmente.
Frecuente
Es una actividad cotidiana
En nuestra vida diaria estamos agrupando elementos continuamente
La agrupación
Conjuntos
Dinámico
Dos opciones
Frecuente
Los números
Son una característica
Característica del concepto «agrupación
de unidades»
El concepto «número» es una característica del concepto «agrupación de unidades»
La repetición
La característica es
«la repetición»
La característica (el concepto) número es «la repetición» de unidades en un conjunto
Número propio
Cada conjunto tiene
su número
Cada conjunto de unidades de la misma categoría tiene como característica un número
Clasificación
La característica
número puede clasificarse
De la misma forma que la característica color de las hojas de los árboles puede clasificarse atendiendo a su frecuencia, la característica número de un conjunto también puede clasificarse.
La referencia es la unidad
El número de un conjunto unitario se toma como referencia
Para clasificar los números se parte de un conjunto que tenga sólo una unidad. El número de un conjunto con una sola unidad se toma como punto de partida, como referencia para el resto de los números
Números relacionados
Añadiendo una unidad obtenemos un número diferente pero relacionado
Si añadimos una unidad a un conjunto con sólo una unidad, el conjunto resultante tendrá un número diferente, pero lo relevante es que está relacionado con el anterior por la diferencia de una sola unidad
Conjunto ordenado
Repitiendo el proceso se obtienen una
serie de números relacionados
por una
unidad
Si se repite el proceso obtenemos una serie de conjuntos cuyos números asociados están relacionados por el incremento de una unidad. Hemos clasificado los conjuntos. Y en paralelo tenemos una serie de números que puede recorrerse añadiendo o quitando una unidad. Es decir, tenemos un conjunto de números ordenados
Los números
Son una característica
La repetición
Número propio
Clasificación
La referencia es la unidad
Números relacionados
Conjunto ordenado
La cuantificación I
Una unidad
Cuantificamos con números y una
unidad
La cuantificación consiste en obtener el número de unidades que contiene un determinado conjunto, tomando como referencia una unidad específica
El valor
Valor = número + unidad
El resultado de la cuantificación es el valor, de forma que: Valor = número + unidad
Son individualidades
Se cuantifican conjuntos concretos, aunque la referencia sea un concepto
Los procesos de cuantificación son concretos. Se cuantifican naranjas, árboles, mesas, niños, etc, como individualidades concretas, no como conceptos, aunque la unidad de cuantificación sea un concepto
Observando
Aprendemos a cuantificar observando
Aprendemos a cuantificar a base de observar la realidad
Primero individualidades
Aprendemos a identificar individualidades
Primero aprendemos a identificar las individualidades: niño, naranja, casa, oveja, etc
Después repetición
Aprendemos a identificar la
repetición
Después aprendemos a identificar la repetición de esas unidades. Observamos un conjunto de niños, un conjunto de naranjas, un conjunto de casas, etc
El valor
Aprendemos a
construir el concepto de valor
La observación continuada de la repetición de unidades nos ayuda a construir el concepto de valor, que es la repetición de cualquier tipo de unidad
La cuantificación I
Una unidad
El valor
Son individualidades
Observando
Primero individualidades
Después repetición
El valor
La cuantificación II
Es esencial
Cuantificar es básico
La cuantificación es uno de los pilares de la construcción del conocimiento
La cantidad
La cuantificación proporciona cantidades
El interés que tiene la cuantificación es que nos permite comparar unas situaciones con otras en términos de cantidad
Las decisiones
Comparando cantidades tomamos decisiones
Y el resultado de esa comparación nos permite tomar decisiones
Ejemplos
El dinero
¿Tengo bastante dinero para pagar?
Cuantificamos el dinero que tenemos en la cartera, para determinar si será suficiente para pagar en el restaurante
La comida
¿Tengo bastante comida en la nevera?
Cuantificamos los alimentos que hay en la nevera, para decidir si es necesario hacer o no la compra
Las ovejas
¿Me falta alguna oveja?
El pastor cuantifica las ovejas que hay en el rebaño, para comprobar si le falta alguna
La cuerda
¿Tengo bastante cuerda para poner en
el tendedero?
Cuantificamos la longitud de la cuerda, para comprobar si es suficientemente larga para colocarla en el tendedero
Sin parar
Cuantificamos constantemente
Constantemente estamos realizando cuantificaciones
La cuantificación II
Es esencial
La cantidad
Las decisiones
Ejemplos
El dinero
La comida
Las ovejas
La cuerda
Sin parar
Los símbolos
Solo en el cerebro
Los números son conceptos
Los números son conceptos y como todos los conceptos solo están en el cerebro
Sacar el número
Necesitamos los símbolos para comunicar el concepto
Una vez creados los conceptos de los números necesitamos asociarles una palabra y/o un símbolo para poder representarlos fuera del cerebro, y también para dialogar con otras personas
Palabras
(tres, cuatro, four,
five, etc.)
Cada idioma tiene sus propias palabras (tres, cuatro, four, five, etc.) para referirse a los diferentes números
Símbolos
(6, 7, VI, VII, etc.)
Además, se han usado diferentes símbolos (6, 7, VI, VII, etc.) para referirse a los números
El vínculo
Hay que conectar el símbolo con el
número
Como con cualquier otro concepto es preciso crear en el cerebro el vínculo correspondiente entre cada número y la palabra o símbolo que lo represente
Los símbolos
Solo en el cerebro
Sacar el número
Palabras
Símbolos
El vínculo
Las operaciones
Son fáciles
En un conjunto ordenado las relaciones se
hacen bien
Resulta muy fácil realizar operaciones (suma, resta, multiplicación, etc. ) con los números, porque constituyen un conjunto ordenado
Respetar las leyes
Los números salen de la realidad y la realidad
está sujeta
a leyes
Cuando se realizan operaciones con los números es obligatorio respetar las leyes que gobiernan el Universo, porque los números son una característica de la realidad y la realidad está sujeta a leyes
Van por libre
Con los símbolos numéricos se puede hacer lo que se quiera
Otra cosa es establecer relaciones entre los símbolos numéricos, sin establecer vínculos con los números.
No hay significado
Cuando los símbolos numéricos van por libre no tienen significado
En este caso no hay limitaciones, pero los resultados obtenidos no tienen ningún significado porque no están vinculados a números
Lo imposible
Hay muchas expresiones matemáticas imposibles de realizar
Los libros de matemáticas están llenos de expresiones simbólicas que no tienen ningún significado porque las operaciones que proponen no pueden realizarse ni por un cerebro humano ni por un ordenador
El vacío
Si no se ejecuta
no produce
Cuando una formulación matemática no puede realizarse constituye una expresión «vacía», vacía de contenido
El peligro
Parecen inocuoas, pero son muy peligrosas
Las expresiones matemáticas vacías son una pandemia cuando engañan con la perfección y el poder absoluto, usando el cero y el infinito
Las operaciones
Son fáciles
Respetar las leyes
Van por libre
No hay significado
Lo imposible
El vacío
El peligro
Profundizando
Es correcto
Puedo decir: tengo 3 unidades
¿Es semánticamente correcta la expresión “tengo 3 unidades”? Por supuesto que lo es
Unidad
«Unidad» es cuantificable
Unidad es un concepto cuantificable. Se definió como cualquier cosa que pueda diferenciarse de su entorno
Muy genérico
Unidades diferentes pueden cuantificarse conjuntamente
Si encima de mi mesa hay un ordenador, dos bolígrafos, una funda de gafas, un vaso y tres carpetas, puedo decir que encima de mi mesa hay 8 unidades
Sabe a poco
Lo genérico proporciona muy poca información
Obviamente la expresión «encima de mi mesa hay 8 unidades» proporciona una información muy genérica, poco precisa
Son 8
Hay 8 realidades diferenciadas
Solo nos indica que sobre la mesa hay 8 realidades diferenciadas. Pero no nos dice nada más de esas realidades
¿Qué son?
No sabemos de
qué tipo son
No sabemos si son peras, manzanas, lápices, etc. Tampoco sabemos sin todas son de la misma categoría o no
Profundizando
Es correcto
Unidad
Muy genérico
Sabe a poco
Son 8
¿Qué son?
Muy abstracto
Ocho unidades
Alto nivel de
abstracción
¿Qué problemas plantean las expresiones del tipo «8 unidades”? Fundamentalmente que son expresiones de un alto nivel de abstracción
Unidad
Unidad es un concepto demasiado genérico
«Unidad» es un concepto muy abstracto, es decir, muy genérico. Se refiere a todo lo que existe y puede diferenciarse de su entorno
Poca información
«Abarcan mucho, pero aprietan poco»
Por eso proporciona muy poca información, porque es muy genérico. De este tipo de conceptos puede decirse que «abarcan mucho, pero aprietan poco»
Poco útil
Suele ser poco interesante
utilizarlos
Eso significa que el uso de estos conceptos tan genéricos queda muy limitado. Hay pocos tipos de expresiones en los que puedan usarse, digamos, con eficacia comunicativa
Muy abstracto
Ocho unidades
Unidad
Poca información
Poco útil
Ambigüedad
Muy claro
He comido 3
nueces
La expresión «he comido 3 nueces» aporta una información clara, concreta y precisa
Muy ambigüo
He comido 4
unidades
¿Qué sucede con la expresión «he comido 4 unidades»? Sucede que es treméndamente ambigua
¿Qué son?
Seguramente será
algo comestible,
nada más
Se puede suponer que las unidades serán de algo que se pueda comer. ¿Se puede suponer algo más? No parece razonable, al menos en general
Dice poco
Aporta poca
información
En resumen, la expresión «he comido 4 unidades» nos aporta muy poca información, es muy pobre en cuanto a su significado
¿Por qué?
Porque es muy abstracto
La razón, ya se ha dicho, es que trabaja en un nivel de abstracción muy alto
Ambigüedad
Muy claro
Muy ambigüo
¿Qué son?
Dice poco
¿Por qué?
No mezclar
Poco con mucho NO
No es bueno mezclar poco con muy abstracto
Desde el punto de vista del rigor semántico, no es aconsejable mezclar conceptos muy abstractos con conceptos poco abstractos
Confusión
Si mezclas puedes
generar confusión
El riesgo de confusión es muy alto. Por eso es deseable evitar ese riesgo y no mezclar «churras con merinas»
Similar
Lo aconsejable es combinar niveles
de abstracción
similares
Los conceptos muy abstractos deben combinarse con otros conceptos de un nivel similar de abstracción. Y los conceptos poco abstractos deben combinarse con otros conceptos que sean poco abstractos
El ejemplo anterior
Esto no
Comer 8
unidades
Volviendo al ejemplo anterior, «unidad» es un concepto muy abstracto y «comer» es un concepto poco abstracto. Por eso no conviene combinarlos
Esto sí
Comer peras,
tortilla, etc.
«Comer» debe combinarse con conceptos de su mismo nivel de abstracción como «peras», «croquetas», «tortilla», etc
No mezclar
Poco con mucho NO
Confusión
Similar
El ejemplo anterior
Esto no
Esto sí
Confusión
El contexto
La mezcla obliga a
usar el contexto
El uso combinado de conceptos de muy alto nivel de abstracción con otros poco abstractos obliga a usar conocimiento complementario para interpretar correctamente las expresiones
Ejemplo
Juan y Pedro
3 bolígrafos y 3 gafas
Supongamos que Juan tiene tres bolígrafos y Pedro tiene tres gafas
Son 3
Tienen las mismas unidades
Alguien puede decir: las unidades de Juan son iguales que las unidades de Pedro
Es correcto
Es una expresión correcta
Esta es una expresión correcta si nos fijamos exclusivamente en la característica ‘cantidad de las unidades’
Sólo una
Pero sólo se fija en
una característica
Pero las unidades, cualquier unidad, tienen además otras muchas características
Las otras no
Ninguna otra característica admite
el concepto
«igualdad»
Obviamente a ninguna de las otras características de las unidades que posee Juan (bolígrafos), y de las unidades que posee Pedro (gafas), puede aplicársele el concepto ‘igualdad’
No casan bien
Unidad e igualdad
no casan bien
La conclusión es que combinar el concepto ‘unidad’, que es muy abstracto, con el concepto ‘igualdad’, que exige mucha concreción, no es recomendable
Induce a error
Si se combinan
habrá confusión
Lo más normal es que genere confusión, en el mejor de los casos, y error en la mayoría de las situaciones
Confusión
El contexto
Ejemplo
Juan y Pedro
Son 3
Es correcto
Sólo una
Las otras no
No casan bien
Induce a error
Incoherencia
Aportan poco
No aportan conocimiento directo
Ese tipo de expresiones no aportan conocimiento directo, son dependientes de una interpretación que requiere aportar conocimiento complementario
Alto riesgo
Inducen a la incoherencia semántica
Cuando esta práctica se generaliza en ámbitos concretos, se corre el riesgo de caer en la incoherencia semántica, que puede ser grave o muy grave
Frecuente
Frecuente en matemáticas
y lógica
Es lo que sucede, a juicio del autor, en algunos campos de las matemáticas y de la lógica
No es objetivo
Aquí no se entrará
en detalles
Asunto altamente complejo que se sale de los objetivos de este libro
Incoherencia
Aportan poco
Alto riesgo
Frecuente
No es objetivo
Sistema decimal
Los símbolos
1, 2, 3, 4, V, X, XII
Vamos a ocuparnos ahora de los símbolos numéricos
Los idiomas
Cada idioma tiene sus propias palabras
y símbolos
numéricos
Ya hemos dicho que cada idioma tiene sus propias palabras para referirse a los números y que se han usado diferentes tipos de símbolos específicos para representar los números
El decimal
Nos centraremos en
el sistema decimal
El más usado en la actualidad es el sistema numérico decimal y nos vamos a centrar en él
Diez dígitos
(0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9)
Este sistema utiliza diez dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Cada dígito es un símbolo numérico de una cifra
Combinando
467, 7890, 23 23456, 109
Combinándolos se pueden obtener símbolos numéricos de varias cifras
Se supone
El procedimiento de construcción es
bien conocido
El sistema numérico decimal es bien conocido y no parece oportuno repetir aquí el procedimiento de agrupación de dígitos para construir símbolos numéricos de varias cifras
El asunto crucial
Diferenciar
Número no es igual a símbolo numérico
Lo que sí importa y mucho es diferenciar entre número y símbolo numérico
Concepto
El número es un concepto
El número es un concepto que nos indica la repetición de unidades concretas. La repetición se obtiene mediante un procedimiento de agrupación y conteo (cuantificación)
Grafismo
El símbolo numérico
es un grafismo
El símbolo numérico es un grafismo que usamos para representar fuera del cerebro el resultado de la cuantificación que hacemos dentro del cerebro
Sistema decimal
Los símbolos
Los idiomas
El decimal
Diez dígitos
Combinando
Se supone
El asunto crucial
Diferenciar
Concepto
Grafismo
Vida propia
Con vínculo
El objetivo es establecer un vínculo entre número
y símbolo
Los sistemas de numeración nacen con el objetivo de establecer un vínculo entre los números y los símbolos numéricos
Existen
Pero los símbolos existen aunque no se
vinculen
Pero es preciso resaltar que los símbolos numéricos de todos los sistemas de numeración existen al margen de si están vinculados o no a los números
Sin significado
Pueden existir sin
tener significado
Es tanto como decir que los sistemas de numeración tienen vida propia, aunque no signifiquen ni representen nada
Ejemplo
Muchas cifras
9813098750213467 389098767234153
Usando el sistema numérico decimal puedo escribir el siguiente símbolo numérico de varias cifras: 9813098750213467389098767234153
Sin número
Existe, pero sin número asociado
Por supuesto que yo no he hecho ninguna cuantificación que pueda vincular con el anterior símbolo numérico de varias cifras
Yo no
Creé el símbolo, pero no creé el potencial número asociado
Eso es tanto como decir que no representa a ningún número que yo haya creado (los números se crean mediante procesos de agrupación)
¿Se puede?
Potencialmente puede hacerse
Sin embargo, no podría afirmarse que ese símbolo numérico de varias cifras no pudiera ser el resultado de un proceso de cuantificación
Es dudoso
Sin embargo es difícil imaginar que una persona pueda
hacerlo. Un
ordenar
quizás sí
Es difícil imaginar que una persona pueda hacerlo. Pero quizás un ordenador sí podría contar los ciclos de su reloj durante un determinado intervalo temporal y concluir que el número de los citados ciclos puede representarse mediante el anterior símbolo numérico de varias cifras
Vida propia
Con vínculo
Existen
Sin significado
Ejemplo
Muchas cifras
Sin número
Yo no
¿Se puede?
Es dudoso
Cazpuba
Son igual
Igual categoría que
las palabras
Los símbolos numéricos tienen la misma categoría que las palabras
Son lenguaje
Si se vinculan son lenguaje
Son lenguaje cuando están vinculados a un concepto, y son grafismos o sonidos sin significado cuando no están vinculados a ningún concepto
Son grafismos
Si no se vinculan
son grafismos
No hay ningún problema en crear grafismos o sonidos que no tengan significado
No mezclar
Mezclar es un problema grave
El problema es combinar, mezclar, grafismos que sí tienen significado con otros que no lo tienen
Ejemplo
Cazpuba
No tiene significado
Yo puedo crear la palabra «cazpuba» que en español no tiene significado. No hay problema
Absurdo
Ayer comí cazpubas
El problema es si la uso en la siguiente expresión «ayer comí cazpubas»
¿Qué comes?
¿Comer qué? Algo comestible
El verbo comer necesita combinarse con una palabra que tenga significado, porque de lo contrario la frase resultante es absurda, no ofrece ninguna información
¡Ay los símbolos!
Lo mismo sucede con los símbolos
numéricos
Lo mismo sucede con los símbolos numéricos que no se corresponden con números creados. Su uso puede generar confusión o error
Cazpuba
Son igual
Son lenguaje
Son grafismos
No mezclar
Ejemplo
Cazpuba
Absurdo
¿Qué comes?
¡Ay los símbolos!
Las palabras
¿Cuántas?
¿Cuántas palabras existen?
Antes de terminar este capítulo vamos a intentar responder a la siguiente pregunta: ¿Cuántos símbolos numéricos existen? Antes comencemos por responder a otra pregunta: ¿Cuántas palabras existen? La respuesta es muy clara para este autor
Crear y memorizar
Las que se hayan creado y estén memorizadas
Existen las palabras que se hayan creado y estén almacenadas en algún registro memorístico. Ni una más ni una menos
Las dos
Las dos condiciones
Y han de cumplirse las dos condiciones, creación y almacenamiento
Cualquiera
Sirve cualquier registro memorístico
El almacenamiento puede ser en un cerebro humano, en un dispositivo electrónico, en un libro, un papiro, una piedra, etc
Desaparece
Si se borra
desaparece
Si una palabra fue creada y ya no se encuentra almacenada en ningún registro memorístico, ha dejado de existir
Olvidados
Es el caso de los idiomas sin forma escrita
Es el caso de los idiomas que no tenían forma escrita y han desaparecido todas las personas que los hablaban
Las palabras
¿Cuántas?
Crear y memorizar
Las dos
Cualquiera
Desaparece
Olvidados
No existe
Humanas
Creación humana
Las palabras son una creación humana, igual que las casas y los vasos
Antes NO
Una casa no preexiste
Antes de construirse, una casa no existe
La destrucción
Si lo rompes
desaparece
Si una casa construida se derrumba, deja de existir. Un vaso que se rompe también deja de existir
Igual
Lo mismo sucede
con los símbolos
numéricos
Con los símbolos numéricos pasa lo mismo. Existen tantos como hayan sido creados y se guarden en algún registro memorístico
No puedes
Si el símbolo desaparece no puedes trabajar con él
Si un símbolo numérico creado se borra de todos los registros memorísticos, deja de existir y no se puede trabajar con él hasta que no vuelva a crearse
Los vinculados
Igual sucede con los símbolos vinculados
a números
Lo mismo puede decirse de las palabras y de los símbolos numéricos que usamos para representar los números
No existe
Humanas
Antes NO
La destrucción
Igual
No puedes
Los vinculados
Los números
¿Cuántos?
¿Cuántos números existen?
¿Qué sucede con los números? ¿Cuántos números existen?
Nivel alto
El número está donde
los conceptos
Los números no están en el nivel de las palabras. Los números están en el nivel de los conceptos
El cerebro
Solo en el cerebro
Los números como los conceptos solo existen en los cerebros humanos
Es obvio
Existen los creados y memorizados en
un cerebro
La respuesta es obvia. Existen tantos números como hayan sido creados y se mantengan memorizados en algún cerebro. (Podrían incluirse los cerebros electrónicos)
Se dice
La pre-existencia
He oído decir que los números existen sin la necesidad de que los construyamos los seres humanos
NO
En total desacuerdo
Estoy en total desacuerdo con esa afirmación e intentaré argumentar por qué en el párrafo siguiente
Los números
¿Cuántos?
Nivel alto
El cerebro
Es obvio
Se dice
NO
Lo potencial
Cuantificable
Todo lo que tenemos alrededor es
cuantificable
Lo que existe a nuestro alrededor es materia y energía. La materia y la energía forman multitud de estructuras susceptibles de ser cuantificadas
Los conjuntos
Árboles, animales, cordilleras, islas, etc.
Podemos cuantificar los árboles de un bosque, los animales de un rebaño, los picos de una cordillera, las islas de un mar, etc
NO confundas
Cuantificable no es lo mismo que cuantificado
La existencia de unidades cuantificables es una cosa, la cuantificación de esas unidades es otra
¿Número?
Sin cuantificación no
hay número
El número, ya lo hemos explicado, es el resultado de la cuantificación. Sin el proceso de la cuantificación no hay número
Numero y cuchara
Cuantificable es a número, como trozo
de madera es
a cuchara
Decir que por el hecho de que exista un conjunto cuantificable ya existe el número que resultaría de cuantificarlo, es lo mismo que decir que, como tengo un trozo de madera, ya existe la cuchara que se podría construir con ella
El producto
Sin acción no hay producto
Mientras no realice el tallado correspondiente, la cuchara no existe.De la misma forma, mientras no realice la cuantificación de un conjunto, no existe el número asociado a ese conjunto
Cualquiera
Cualquiera puede
crear un número
Obviamente cualquier persona puede crear un número en cualquier parte del mundo
Uno basta
Con uno basta
para existir
Basta, por tanto, que alguien construya un número para que ese número pueda considerarse que existe
Similar
Igual sucede con palabras, conceptos
y símbolos
Lo mismo sucede, ya se ha dicho, con los conceptos, las palabras y los símbolos numéricos
Lo potencial
Cuantificable
Los conjuntos
NO confundas
¿Número?
Numero y cuchara
El producto
Cualquiera
Uno basta
Similar
Todo es limitado
Crucial
Deducción crucial
De todo lo anterior se deduce un asunto crucial
¿Cómo?
Se necesita energía, tiempo y memoria
Los números y sus símbolos asociados necesitan, para existir, de una aportación de energía, de un tiempo para crearlos y de una memoria para almacenarlos
Limitados
Recursos limitados
Energía, tiempo y memoria son recursos limitados
Relevante
Conclusión
relevante
La limitación de los recursos necesarios para construir los números, y su representación, nos lleva a una conclusión relevante
¿Cuantos?
Cantidades limitadas
La cantidad de números y símbolos numéricos que existen o pueden existir es limitada
Usted, ¿qué opina?
¿Qué hacemos con las series infinitas, el límite, el cero en el espacio y en el tiempo? ¿Cómo se crea eso? ¿Es magia o es
ciencia?
Afirmar que los números no están sometidos a las limitaciones de la realidad que nos rodea, a las leyes de la física, de la química y de la biología, es una gran osadía ¿En qué se apoyan quienes eso afirman? ¿Dónde está el rigor intelectual y científico de ese tipo de afirmaciones? Que el lector saque las conclusiones que considere oportunas
Todo es limitado
Crucial
¿Cómo?
Limitados
Relevante
¿Cuantos?
Usted, ¿qué opina?
Capítulo 9.- LOS NÚMEROS
Concepto complejo
La unidad
La referencia
La agrupación
Los números
La cuantificación I
La cuantificación II
Los símbolos
Las operaciones
Profundizando
Muy abstracto
Ambigüedad
No mezclar
Confusión
Incoherencia
Sistema decimal
Vida propia
Cazpuba
Las palabras
No existe
Los números
Lo potencial
Todo es limitado
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